エアープランツ(正式名はティランジア)。
傷んだ葉は、カットしても残しておいても、どちらでも大丈夫です。

※※下の葉は、時間経つとどうしても傷んできます。(古葉)

エアープランツを「インテリアグリーン」という観点で育てるのであれば、見た目が悪いのでカットします。

ただ、ティランジアが好きなマニアの方などは、よほどでないと枯れ葉は落としません。
何故ならティランジアは、こういった枯れ葉からも栄養分を吸収していくからです。

実際、ご家庭で育てる場合は肥料も与えるので、必ずしも枯れ葉を残しておかなければ・・・・ということはありません。見栄えが気になれば、取って頂いてもOKです。
マニアの方は、自然の姿を想像しながら育てるのが好きなので無理には取らないという訳です。植物ファーストと言いますか。